Question

已知函数，（其中e为自然对数的底数，m、n为常数），函数定义为：对每一个给定的实数x，

（1）当m、n满足什么条件时，对所有的实数x恒成立；

（2）设a、b是两个实数，满足且m，当时，求函数在区间的上的单调增区间的长度之和（用含a、b的式子表示）（闭区间的长度定义为）.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意得到恒成立，从而得到，结合绝对值不等式，得到答案；（2）分，，三种情况进行讨论，根据和的图像，得到的图像，根据函数图像进行分析，得到答案.

（1）因为，

所以要得到对所有的实数x恒成立，

则恒成立，即恒成立

则，取对数得：恒成立

而

所以、应满足，

故时，对任意实数x恒成立.

（2）①当时，，作出和的函数图像，如图所示，

根据，可得到图像，如图所示，

所以可以得到，

即，即，

所以得到，

，

由图可知，此时函数在区间上的单调增区间的长度之和为

；

②当时，，作出和的函数图像，如图所示，

根据根据，可得到图像，如图所示，

所以可以得到，

即，即，

所以得到，

，

由图可知，此时函数在区间上的单调增区间的长度之和为

；

③当时，由（1）可知，，

此时的函数图像关于直线对称，如图所示，

根据对称性可判断，

此时函数在区间上的单调增区间的长度之和为

，

综上所述，函数在区间上的单调增区间的长度之和为.