Question

已知.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.

Answer

（1）（2）或，（3）

【解析】

（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；

（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；

（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.

（1）当时，

不等式解集为

（2）

①当时，仅有一解，满足题意；

②当时，则，

若时，解为，满足题意；

若时，解为

此时

即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；

综上，或，

（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此

即对任意恒成立，

因为，所以在上单调递增，

所以

因此