Question

椭圆的右焦点为，左顶点为，线段的中点为，圆过点，且与交于， 是等腰直角三角形，则圆的标准方程是____________

Answer

【解析】

设A（﹣a，0），求得AF的中点B的坐标，可得圆F的半径和方程，设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），由△BDE为等腰直角三角形，可得m，n的关系，将D的坐标代入圆的方程，解方程可得m＝1，求出n，代入椭圆方程，解方程可得a＝2，即可得到圆F的方程．

如图设A（﹣a，0），可得a＞1，c＝1，b2＝a2﹣1，

线段AF的中点为B（，0），

圆F的圆心为F（1，0），半径r＝|BF|，

设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），

由△BDE为等腰直角三角形，可得kBD＝1，

即1，即n＝m，

由D在圆F：（x﹣1）2+y2＝（）2上，

可得（m﹣1）2+（m）2＝（）2，

化简可得（m﹣1）（2m﹣1+a）＝0，

解得m＝1或m（舍去），

则n，

将D（1，）代入椭圆方程，可得

1，

化简可得a＝2或（舍去），

则圆F的标准方程为（x﹣1）2+y2，

故答案为：（x﹣1）2+y2．