Question

已知函数，其中.

（1）若是函数的导函数的零点，求的单调区间；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）

【解析】

（1）对函数f（x）求导数，利用x＝1是函数f（x）导函数的零点求出a的值，再判断f（x）的单调性与单调区间；（2）求函数f（x）的导数，讨论①a≤0时f′（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，得出f（x）≤f（1）＝0，符合题意；②a＞0时，f′（x）是x∈[1，+∞）上的单调减函数，利用f′（1）＝a﹣1，讨论a≤1时，f（x）≤f（1）＝0，满足题意；a＞1时，易知存在x0∈[1，+∞），使得f′（x0）＝0，且f（x0）＞f（1）＝0，不符合题意；由此求出a的取值范围．

（1）函数，其中；∴，

又是函数的导函数的零点，∴，解得，

∴，∴，且在上是单调减函数，，

∴时，，单调递增；时，，单调递减；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2），；

①时，在上恒成立，

则是单调递减函数，且，∴恒成立，符合题意；

②当时，是上的单调减函数，且；

若，即，则在上单调递减，且，满足题意；

若，即，则易知存在，使得，

∴在单调递增，在单调递减，

∴时，存在，则不恒成立，不符合题意；

综上可知，实数的取值范围是．