Question

从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于的任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer

(1) (2)见解析

【解析】

（1）利用相关点法，设设，，则点的坐标为，由，从而得到，即．化简求得结果；

（2）设出点A,B的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到，根据韦达定理得到=， =，设点，写出直线AT的方程，进而求得点D的坐标，同理求得点E的坐标，如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足，利用向量数量积坐标公式求得结果.

（1）设，，则点的坐标为．

因为，

所以，

即 ，

因为点在抛物线上，

所以，即．

所以点的轨迹的方程为．

（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为 ，，

由得．

由韦达定理得 =， =．

设点，则．

所以直线的方程为．

令，得点的坐标为．

同理可得点的坐标为．

如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．

因为 ．

所以．

即，解得或．

故以为直径的圆过轴上的定点和．

解法2：直线与曲线的交点坐标为，，

若取，则，与直线的交点坐标为，，

所以以为直径的圆的方程为．

该圆与轴的交点坐标为和．

所以符合题意的定点只能是或．

设直线与曲线的交点坐标为 ，，

由得．

由韦达定理得

设点，则．

所以直线的方程为．

令，得点的坐标为．

同理可得点的坐标为．

若点满足要求，则满足．

因为

．

所以点满足题意．

同理可证点也满足题意．

故以为直径的圆过轴上的定点和．