Question

已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是________

Answer

【解析】

原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点,画出函数图象,求出临界值直线的斜率,结合图象可得结果.

根据题意,令得,

原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点,

当时,易知临界位置为)过点(0,2)和(1,0),分别求出这两个位置的斜率和,

由图可知此时,当时,设过点(-1,0)向函数,的图象作切线的切点为,则由函数的导数为得,

解得,所以切线斜率为,

而过点和的斜率为,

由图可知,此时.

综上可得实数的取值范围是,

故答案为.