Question

已知三棱锥中，、、两两垂直且长度均为10，定长为（）的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在△内运动（含边界），线段的中点的轨迹的面积为，则的值等于________

Answer

【解析】

由三棱锥A−BCD中,AB､AC､AD两两垂直,可得MA⊥AN.即∠MAN=90∘,可得AP=,且点P的运动轨迹是以点A为球心, 为半径的球面的八分之一,利用球表面积公式即可得出.

∵三棱锥A−BCD中,AB､AC､AD两两垂直,

所以平面,
∴MA⊥AN.
∴∠MAN=,点P是线段MN的中点,
可得,且点P的运动轨迹为球面,
是以点A为球心,以为半径的球面的,
,
解得,
故答案为:.