Question

已知动点到定点的距离之和为4.

（1）求动点的轨迹方程

（2）若轨迹与直线交于两点，且求的值.

（3）若点与点在轨迹上，且点在第一象限，点在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形的面积为定值.

Answer

（1） ；（2） ；（3）定值，见解析

【解析】

(1)求得椭圆的,即可求动点的轨迹方程
(2)将直线代入椭圆方程,可得的方程,运用韦达定理和判别式大于0,由弦长公式,解方程即可得到所求值; 
(3)求出直线AB的方程,运用点到直线的距离公式求得P到直线AB的距离,弦长AB,运用三角形的面积公式可得,再由A,P满足椭圆方程,结合条件,计算即可得到三角形的面积为定值.

(1)动点Q到两定点、的距离和为4,满足椭圆的定义,且 , 
动点的轨迹方程：
(2)将直线代入椭圆方程,可得 
, 
,解得, 
设

则
即有, 
解得,满足
(3)证明:直线AB的方程为,即为, 
可得到直线AB的距离为, 
, 
则═, 
由，得 因为
可得
则
由,可得
即有
故当时,三角形的面积为定值