Question

已知函数．

（1）在直角坐标系内直接画出的图象；

（2）写出的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；

（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）图见解析；（2）在[﹣1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增；（3）（﹣1，1]∪[2，3）

【解析】

（1）直接画出图像得到答案.

（2）根据图像得到函数的单调区间.

（3）变换得到，讨论的不同取值得到答案.

（1）由题意，函数f（x）大致图像如下：

（2）根据（1）中函数f（x）大致图像：

函数f（x）在[﹣1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增．

（3）根据（1）中函数f（x）大致图象，可知

①当t＜﹣1时，直线y＝t与y＝f（x）没有交点；

②当t＝﹣1时，直线y＝t与y＝f（x）有1个交点；

③当﹣1＜t≤1时，直线y＝t与y＝f（x）有2个交点；

④当1＜t＜2时，直线y＝t与y＝f（x）有1个交点；

⑤当2≤t＜3时，直线y＝t与y＝f（x）有2个交点；

⑥当t＝3时，直线y＝t与y＝f（x）有1个交点；

⑦当t＞3时，直线y＝t与y＝f（x）没有交点．

∴若函数y＝t﹣f（x）有两个不同的零点，实数t的取值范围为：（﹣1，1]∪[2，3）．