Question

已知函数（为实数）．

（1）当时，判断函数的单调性，并用定义证明；

（2）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由．

Answer

（1）定义域单调递增，证明见解析；（2）见解析

【解析】

（1）时，，设，计算得到答案.

（2）计算，根据和之间的关系求得.

（1）a＝0时，f（x），函数单调递增.

设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）

∵x1＞x2，∴220，f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在定义域单调递增

（2）f（﹣x），

①当a＝﹣1时，f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数；

②当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x），即为奇函数；

③当则a≠1且a≠﹣1时，f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），即非奇非偶函数．

综上所述：时为偶函数；时为奇函数；且时为非奇非偶函数.