Question

已知二次函数满足.

（1）求的解析式；

（2）若在上单调，求的取值范围；

（3）设（ 且a≠1），（且），当时，有最大值14，试求a的值.

Answer

（1）f（x）；（2）p≤﹣7，或者p≥﹣3；（3）a＝3或

【解析】

（1）利用代入化简得到答案.

（2）化简得到，得到对称轴或计算得到答案.

（3），设化简为二次函数计算得到答案.

（1）∵f（x）＝ax2+bx满足f（x﹣1）＝f（x）+x﹣1，

∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝ax2+bx+x﹣1，即ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b＝ax2+（b+1）x﹣1，

所以﹣（2a﹣b）＝b+1，a﹣b＝﹣1，得a，，

所以f（x）．

（2）因为g（x）＝﹣2f（x）+px＝﹣2（）+px＝x2+（p﹣1）x，x∈[2，4]上单调，

所以其对称轴x2，或者，所以p≤﹣7，或者p≥﹣3．

（3）F（x）＝4f（ax）+3a2x﹣1＝a2x+2ax﹣1，（a＞0且a≠1），

当x∈[﹣1，1]时，令t＝ax，y＝t2+2t﹣1＝（t+1）2﹣2，

当a＞1时，t，ymax＝F（a）＝（a+1）2﹣2＝14，得a＝3；

当0＜a＜1时，t，，得a．

故a＝3或．