Question

已知函数对任意实数恒有且当，，又．

（1）判断的奇偶性；

（2）求在区间上的最大值；

（3）解关于的不等式．

Answer

（1）奇函数；（2）；（3）.

【解析】

（1）采用令值的方法：令，得到与的关系，并计算相关值即可得到的奇偶性；

（2）分析的单调性，再根据已知的条件结合恒等式以及奇偶性即可计算出的最值；

（3）根据函数的奇偶性以及特殊值将不等式变形，再根据恒等式和函数的单调性将其转变为自变量间的不等关系，从而可求不等式解集.

（1）的定义域为，关于原点对称，

令，所以，所以，

令，所以，所以，

所以，所以是奇函数；

（2）任取且，

所以，所以，

又因为是奇函数，所以，

因为，所以，所以，

所以是上的减函数，

所以，

所以；

（3）因为，所以，

所以，所以，

又因为，所以，

所以，所以且是减函数，

所以，解得：，所以解集为.