Question

已知二次函数满足条件是偶函数， ，且的图象与直线恰有一个公共点.

（1）求的解析式；

（2）设，是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）根据是偶函数、、与仅有一交点，得到对应的方程组，求解出的值即可求解出的解析式；

（2）根据的对称轴，利用轴定区间动进行分类讨论，由此确定出符合条件的的取值.

（1）因为是偶函数，所以的对称轴为，所以，

又因为，所以，

又因为与仅有一交点，所以仅有一根，所以，

所以，所以，所以；

（2）因为，所以的对称轴，

当时即，在上单调递减，

所以，解得：或（舍）；

当时，在上单调递增，

所以，解得：或（舍）；

当时，在上递增，在上递减，

所以，此时不满足.

综上可知：或.