Question

已知二次函数满足，且.

（1）求函数的解析式；

（2）求在区间上的最大值和最小值；

（3）当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）最小值为3，最大值为7；（3）．

【解析】

（1）待定系数法求解析式，可设函数的解析式为，又由，即，分析可得、的值，将、的值代入函数的解析式，即可得答案；

（2）根据题意，分析可得，结合的范围分析可得答案；

（3）根据题意，由的解析式可得，由基本不等式的性质分析可得，据此分析可得答案．

【解析】
（1）根据题意，二次函数满足，设其解析式为，

又由，

∴，

∴，解得，，

则；

（2）由（1）的结论，，

又，

当时，取得最小值，且其最小值，

当时，取得最大值，且其最大值；

故在上的最小值为3，最大值为7；

（3）由（1）的结论，，则，

又由，则，当且仅当x=2等号成立

若恒成立，必有，解可得，

即的取值范围为．