Question

已知函数.

（1）若函数为偶函数，求的值；

（2）若，求函数的单调递增区间；

（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）函数的单调递增区间为;（3）.

【解析】

试题（1）由偶函数的定义可得；（2）将函数写成分段函数的形式，由函数图象可得单调递增区间；（3）由不等式可得，再对进行分类讨论，目的是去掉绝对值，再根据单调性可得的取值范围.

试题解析：（1）任取，则有恒成立，

即恒成立

恒成立，恒成立

（2）当时，

由函数的图像可知，函数的单调递增区间为．

（3）不等式化为

即：（*）

对任意的恒成立

因为，所以分如下情况讨论：

①时，不等式（*）化为恒成立

即

上单调递增

只需

②当时，不等式（*）化为恒成立

即

由①知，

③当时，不等式（*）化为恒成立

即，

在上单调递增，

只需，

由②得:

综上所述，的取值范围是：.