Question

定义在上的函数，对于任意的，都有成立，当时，.

（1）判断是上的单调性并利用定义证明；

（2）当时，解不等式.

Answer

（1）是上的单调递减，证明见解析，（2）见解析

【解析】

（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（2）首先求出，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量不等式，再对参数分类讨论可得.

【解析】
（1）是上的单调递减.证明如下：

任意且，则由于对任意正实数都有，

所以

即，又当时，，而所以.

从而，因此在上是减函数.

（2）根据条件有，

所以等价于.

由（1）知是定义在上的减函数，所以，即.

若时，不成立，此时不等式的解集为空集；

若时，，即，此时不等式的解集为；

若时，，即，此时不等式的解集为.

综上所述：

当时，不成立，此时不等式的解集为空集；

当时，，即，此时不等式的解集为；

当时，，即，此时不等式的解集为