Question

在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）法一：由．设的中点为，连接．

设的中点为，连接，．而即为二面角的平面角．

，推导出．由，，从而平面．由，得平面，从而，即．进而平面．推导出四边形为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．

法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．

（Ⅱ）以为原点，在平面中过. 作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．

（Ⅰ）证法一：是的中点，．

设的中点为，连接．设的中点为，连接，．

由题意得，，

即为二面角的平面角．，

为的中点．，为等边三角形，．

，，，平面．

，平面，，即．

，平面．

，分别为，的中点．，

四边形为平行四边形．，平面，

又平面．平面平面．

法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，

设．则，，，，．

设平面的法向量为，，，

，令，则，

设平面的法向量为，

，，

，取，得．

，平面平面．

【解析】
（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，

设．则，，，，．

平面的法向量

设平面的法向量为，

，，

，取，得．

设平面与平面所成的二面角的平面角为，

由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．

平面与平面所成二面角大小为．