Question

红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中）

平均温度	21	23	25	27	29	32	35
平均产卵数/个	7	11	21	24	66	115	325
27.429	81.286	3.612	40.182	147.714

（1）根据散点图判断，与（其中自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.

①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率p.

②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.

附：线性回归方程系数公式.

Answer

（1）更适宜，；（2）①，；②，

【解析】

（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量，构造线性回归方程，利用已知量求解出关于的线性回归方程，即可求解出y关于x的回归方程；

（2）①先表示出，然后根据分析出的最大值以及的值；

②根据的值以及二项分布的均值与方差的计算方法求解出结果即可.

【解析】
（1）根据散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数

y关于平均温度x的回归方程类型；

对两边取自然对数，得；

令，得；

因为，

；

所以z关于x的回归方程为；

所以y关于x的回归方程为；

（2）（i）由，

得，

因为，令，得，解得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有唯一的极大值为，也是最大值；

所以当时，；

（ii）由（i）知，当取最大值时，，所以，

所以X的数学期望为，

方差为.