Question

设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根据离心率和弦长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设出两点的坐标，利用的面积与面积的关系得到，利用向量结合平面向量共线的坐标运算，求得两点横坐标的关系.分别联立直线的方程与直线、直线的方程与椭圆的方程，根据两点横坐标的关系列方程，解方程求得的值.

（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，

所以，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设点，，由题意，且

由的面积是面积的3倍，可得，所以

，从而，所以

，即.

易知直线的方程为，由消去，可得

由方程组消去，可得.

由，可得，

整理得，解得，或.

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，舍去.

所以，的值为.