已知函数，其中，为自然对数的底数. 设是的导函数. （Ⅰ）若时，函数在处的切线经...

已知函数，其中，为自然对数的底数. 设是的导函数.

（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的单调区间；

（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.

（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】（I）时，利用导数的几何意义，求得切线斜率，切点坐标，即可求解切线的方程，进而求解得值；（II）求得函数的导数，根据在单调递增，转化为，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）由得：，得，由已知，设为在区间内的一个零点，则由可知在区间上至少有三个单调区间，得到在区间内存在零点，在区间内也存在零点.则在区间内至少有两个零点，由（II）可知，列出不等式组，即可求解. （I）时，，， ∴切线斜率，切点坐标 ∴切线方程 ∵切线经过点，∴ ∴ （II）∵ ∴. ∵在单调递增，∴ ，即时，，所以单调递增区间为 ②当，即时，，所以单调递减区间为 ③当时，令，得，令，得，令，得， ∴函数单调递减区间为，单调递增区间为综上①②③可得：当时，单调递增区间为；当时，单调递减区间为，单调递增区间为；当时，单调递减区间为. （Ⅲ）由得：，∴ 由已知，设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上至少有三个单调区间． ∴在区间内存在零点，在区间内也存在零点. ∴在区间内至少有两个零点．由（II）可知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意． ∴，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增 ∴ ∵ ∴ 令，∵ ∴，令 ∵，令得；令得； ∴在单调递增，在单调递减. ∴在恒成立. 即在时恒成立. ∴由得，∴ ∴ ∴的取值范围是．

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考点分析：

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