Question

已知各项均为正数的数列的前项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

由得到an=n，任意的，恒成立等价于，利用作差法求出的最小值即可.

当n=1时，，又∴

∵an+12=2Sn+n+1，∴当n≥2时，an2=2Sn﹣1+n，两式相减可得：an+12﹣an2=2an+1，

∴an+12=（an+1）2，

∵数列{an}是各项均为正数的数列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，

显然n=1时，适合上式

∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．

∴an=1+（n﹣1）=n．

任意的，恒成立，

即恒成立

记

，

，

∴为单调增数列，即的最小值为

∴，即

故选C