Question

设定义域为R的奇函数（a为实数）

（1）求a的值；

（2）判断的单调性（不必证明），并求出的值域；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

Answer

（1）（2）单调递减，；（3）

【解析】

（1）根据即得解；（2）判断在R上单调递减，根据单调性求出函数的值域；（3）等价于，即，再利用对勾函数的性质求出函数的最小值得解.

(1)因为是R上的奇函数，所以，

从而，此时，

经检验，为奇函数，所以满足题意；

(2)由(1)知，

所以在R上单调递减，

由知，所以，

故得的值域为；

（3）因为为奇函数，

故由得，

又由（2）知为减函数，故得，即，

令，

则依题只需，

由“对勾”函数的性质可知在上递减，在上递增，

所以，

故k的取值范围是．