Question

已知二次函数的图象是以原点为顶点且过点的抛物线，反比例函数的图象（双曲线）与直线的两个交点间的距离为8，.

（1）求函数的表达式；

（2）当时，讨论函数的零点个数.

Answer

（1）；（2）当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点

【解析】

（1）采用待定系数法，分别假设两函数解析式，根据所过点和交点距离可构造方程求得参数，从而得到两函数解析式，进而求得结果；

（2）令，可化简为，从而确定是方程一个解；

令，将问题转化为一元二次方程根的个数的讨论；分别在、和三种情况下求得根的个数，并验证根与是否相同，从而得到结果.

（1）设

设，由可得两交点坐标为和

两个交点之间距离为，解得：

（2）由（1）知：

令，即 是方程的一个解

令，即

当，即时，方程无实根

当，即时，方程有两个相等实根

解方程得：

当，即时，方程有两个不等实根

解方程得：，

令，解得：（舍），

令，方程无解；

，

综上所述：当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点