Question

已知点，，圆是以的中点为圆心，为半径的圆.

（1）若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线方程；

（2）若是圆外一点，从向圆引切线，为切点，为坐标原点，，求使最小的点的坐标.

Answer

（1），，；（2）.

【解析】

试题（1）设圆心坐标为，半径为，依题意得，，，所以圆的方程为.下面分两种情况讨论，第一种情况，若截距均为，即圆的切线过原点，则可设该切线为，利用圆心到直线的距离等于半径，可求得；第二种情况，若截距不为，可设切线为，同理利用圆心到直线的距离等于半径求得或.综上求得切线方程为，，；（2）题意，所以，即，整理得.而时，取得最小值.此时点的坐标为.

试题解析：

（1）设圆心坐标为，半径为，依题意得

，，

∴圆的方程为

（ⅰ）若截距均为0，即圆的切线过原点，则可设该切线为，即，

则有，解得

此时切线方程为或.

（ⅱ）若截距不为0，可设切线为即，

依题意，解得或3

此时切线方程为或.

综上：所求切线方程为，，.

（2）∵，∴

即，整理得

而

时，取得最小值.

此时点的坐标为.