Question

已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为______.

Answer

【解析】

如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、，设，，利用圆的几何性质可得与的关系，再由双曲线的几何性质可得的关系，从而得到双曲线的离心率.

如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、、，

设，，则.

因为为圆的弦，故，故，

解得，故.

又，故.

因为、分别为、的中点，故，

由双曲线的定义可知，

故即，

整理得到，解得.

故答案为：.