Question

已知函数，.

（1）证明：在区间上单调递增；

（2）若存在，使得与在的值域相同，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出，可证明，恒成立，故可得为上的增函数.

（2）先讨论时的情形，此时可把的存在性问题转化为在存在两个不同的零点问题，利用导数和零点存在定理可得.再讨论的情形，利用两个函数的函数值的符号可判定这种情况不成立，两者结合可求的取值范围.

（1）因为，故且，

令，故.

当时，，故在上为增函数，

所以，

故，，故为上的增函数.

（2）因为，故在为增函数，

故在上的值域为.

当时，的值域为，故，

所以在有两个不同的解.

令，

故在有两个不同的零点.

又，

当时，，

故为上的单调增函数，

故在最多有一个解，舍去.

当时，.

取，，

令，则，

故在为增函数，

故，

故在有且只有一个实数解且.

当，，故在为减函数；

当时，，故在为增函数；

故.

又，所以

因为在有两个不同的零点，

故即.

令，其中，

故，故在上为减函数，

故不等式的解为，

所以.

令及，

因为为开口向上的二次函数，

故存在，使得当任意时，总有，

而，故在上为增函数，

当对任意的时，总有 ，

因为，故当，，

根据零点存在定理，在上有且只有一个零点.

因为在有两个不同的零点，故，

所以即，

又，故，

所以.

当时，在上始终满足，

由（1）可知在为增函数，故，

不符合题设要求，舍去.

综上，.