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已知椭圆的离心率为,椭圆与轴交于 两点,且. (1)求椭圆的方程; (2)设点是...

已知椭圆的离心率为,椭圆轴交于 两点,且

(1)求椭圆的方程;

(2)设点是椭圆上的一个动点,且直线与直线分别交于 两点.是否存在点使得以 为直径的圆经过点?若存在,求出点的横坐标;若不存在,说明理由.

 

(1);(2)点不存在. 【解析】 (1)根据椭圆的几何性质知,即,再由离心率得,从而可得,得椭圆方程; (2)假设点P存在,并设,写出PA的方程,求出M点坐标,同理得N点坐标,求出MN的中点坐标,即圆心坐标,利用圆过点D得一关于的等式,把P点坐标代入椭圆方程后也刚才的等式联立解得,注意的范围,即可知存在不存在. (1)由已知,得知, 又因为离心率为,所以.                               因为,所以,                                   所以椭圆的标准方程为. (2)假设存在. 设 由已知可得, 所以的直线方程为,                          的直线方程为, 令,分别可得,,        所以,                                线段 的中点,                               若以为直径的圆经过点D(2,0), 则,                           因为点在椭圆上,所以,代入化简得, 所以, 而,矛盾, 所以这样的点不存在.
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