Question

已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于 两点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于 两点．是否存在点使得以 为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）点不存在.

【解析】

（1）根据椭圆的几何性质知，即，再由离心率得，从而可得，得椭圆方程；

（2）假设点P存在，并设，写出PA的方程，求出M点坐标，同理得N点坐标，求出MN的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过点D得一关于的等式，把P点坐标代入椭圆方程后也刚才的等式联立解得，注意的范围，即可知存在不存在．

（1）由已知，得知，

又因为离心率为，所以.                              

因为，所以,                                  

所以椭圆的标准方程为.

（2）假设存在.

设

由已知可得，

所以的直线方程为，                         

的直线方程为，

令，分别可得，，       

所以，                               

线段 的中点，                              

若以为直径的圆经过点D（2,0），

则,                          

因为点在椭圆上，所以，代入化简得，

所以， 而，矛盾，

所以这样的点不存在.