Question

如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，，为的中点.，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求多面体的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）证明四边形为平行四边形，推出，然后证明平面；

（2）连接FG，说明平面ABEF，推出 ，，，即可证明平面GCE，推出平面平面GCE；

（3）设，几何体是三棱柱，然后通过多面体的体积求解即可.

（1）证明：因为，且，

所以四边形为平行四边形，

所以.

因为平面，平面

所以面.

（2）证明：连接.

因为平面平面，

平面平面，

所以平面，所以.

因为为的中点，所以，

且，，且，

所以四边形和四边形均为平行四边形.

所以，所以.

因为，所以四边形为菱形，

所以.

所以平面.

所以平面平面.

（3）设.

由（1）得，所以平面，

由（2）得，所以面，

所以平面平面，

所以几何体是三棱柱.

由（2）得平面.

所以多面体的体积

.