Question

如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）线段上是否存在点，使得平面？不需说明理由．

Answer

（1）详见解析（2）（3）不存在

【解析】

（1）根据平行四边形求得，再利用线面平行的判定定理得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；

（3）求得平面的法向量，证明得出平面与平面不可能垂直，得出不存在点G.

【解析】
（1）因为，且，所以四边形为平行四边形，所以．

因为，

所以平面．

（2）在平面ABEF内，过A作，因为平面 平面，

，，所以，

所以如图建立空间直角坐标系．

由题意得，，，，，．

所以，．

设平面的法向量为 则 即

令，则，，所以

平面的一个法向量为

则 ．所以二面角的余弦值．

（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：

解法一：设平面的法向量为，

则 即

令，则，，所以．因为 ，

所以平面与平面不可能垂直，

从而线段上不存在点，使得平面．

解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：

假设线段上存在点，使得平面，设，其中．

设，则有，

所以，，，从而，

所以．

因为平面，所以．所以有，

因为上述方程组无解，所以假设不成立．

所以线段上不存在点，使得平面．