Question

已知数列，，且是函数的一个极值点.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，记数列的前n项和为，证明：.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，整理得到，得到证明.

（2）利用累加法计算得到答案.

（3），利用错位相减法计算得到答案.

（1），

所以.

整理得：

是以为首项，2为公比的等比数列

（2）由（1）可知，故，，…，.

将上述式子连续相加可得，所以

（3）由（2）可知

则

等式两边同时乘以得

两式相减得

所以，即，