Question

已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前n项和为，若对任意的正整数n均成立，则实数的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0，2）时f（x）的最大值，由递推式可得{an}是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围．

当x∈[0，2）时，，

所以函数f(x)在[0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可得当0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）＝；

1≤x<2时，f（x）的最大值为f（）＝1，

即有0≤x＜2时，f（x）的最大值为,即首项，

由可得

可得{an}是首项为，公比为的等比数列，

可得Sn＝＝，

由Sn＜k对任意的正整数n均成立，可得k≥．

故选：B．