Question

如图，底面是平行四边形的四棱锥中，点是线段上的点，平面，平面，，，.

（1）求证：点是中点；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥底面上的高.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接交于点,连接,即可证明,由是中点,即可证明点是中点;

（2）根据题意,可证明,且即可证明平面.由平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面;

（3）根据题意,可知平面,从而求得、和,从可得.利用等体积法即可求得棱锥底面上的高.

（1）证明：连接交于点,连接,如下图所示:

因为四边形是平行四边形,故是中点,

又平面,平面,平面平面,

则,

又是中点,

则是中点.

（2）因为平面,又平面,

所以,

又,,则平面,

又平面,

所以平面平面.

（3）由题意可知平面,又

所以平面,

又,

则,,

则,则,

设三棱锥底面上的高为,

则,

另一方面,

故

所以解得.