Question

已知数列中，，且点在直线上；

（1）若数列满足：，是数列的前项和，求.

（2）是否存在同时满足以下两个条件的三角形？如果存在，求出相应的三角形的三边以及，的值，如果不存在，说明理由.

条件1：三边长是数列中的连续三项，其中；

条件2：最小角是最大角的一半.

Answer

（1）（2）存在，三边长分别为：，，； 或或

【解析】

（1）将点坐标代入直线方程,可知数列为等差数列,即可求得数列的通项公式.将数列的通项公式代入即可求得数列的通项公式,即可由裂项求和法求得数列的前项和.

（2）根据题意,假设存在这样的三角形.设出三角形的三条边,利用换元法令,用表示出三条边.由结合正弦定理与余弦定理,即可解得的值,进而求得的值.再反代回原式检验即可.

（1）由条件可知,则是公差为,首项为的等差数列,

则,

则,

所以

,

化简得.

（2）假设满足条件的三角形存在,设其三边长分别为,,,

记,

则三边长分别为,,,又记这三边对应的三个角分别为,,,

则由题有,则在中,由正弦定理可知：,

即,

又在中,由余弦定理知,

整理可得,解得,

则,又,则,的取值分别为,或,

三角形的三边长分别为：,,.

经检验,三边长分别为,,的三角形满足题中条件,故满足条件的三角形存在,

其中,,的取值分别为,或,

三角形的三边长分别为,,.