Question

已知函数(且).

(1)判断函数的奇偶性并说明理由;

(2)是否存在实数,使得当的定义域为时,值域为?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer

(1)见解析；

(2)存在；.

【解析】

(1)由，可求出的定义域，利用定义法能求出在定义域上为奇函数;

(2)把的定义域为时,值域为转化为在单调递减，进一步得到在上有两个互异实根；令，转化为关于的不等式组求解.

(1) 由，可得或，

所以的定义域为；

因为，

且；

所以在定义域上为奇函数.

(2)假设存在这样的实数，使得当的定义域为时,值域为；

由 ，又，，

所以 .

又因为，

所以在单调递减，

所以在单调递减，

所以 ，

故，是方程的两个实数根，

即在上有两个互异实根；

于是问题转化为关于的方程 在上有两个不同的实数根，

令，，

则有 ，解得.

故存在实数，使得当的定义域为时，值域为.