Question

函数同时满足下列两个条件:

①图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形

②是的一个对称中心.

(1)当时,求函数的单调递增区间;

(2)设,若对任意,总是存在,使得,求实数的取值范围.

Answer

(1) ;

(2).

【解析】

(1)利用两角和与差的余弦公式和二倍角公式化简函数，根据题内两条件求出函数的表达式，进而求出函数的单调递增区间；

(2)对任意,总是存在,使得,可知，求由此能求出的取值范围.

【解析】
(1)由题意可得

因为图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形，

所以的最小正周期为，解得.

又因为是的一个对称中心，

所以，解得.

所以.

因为，所以

所以当 时函数单调递增，

故当函数单调递增.

所以函数的单调递增区间为

(2)因为对任意,总是存在,使得，

所以.

因为，

所以 ，

因为=，

令，，则，

所以

所以 ，解得.