Question

已知函数在区间上有最小值1，最大值9.

（1）求实数a，b的值；

（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；

（3）设），若函数有三个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1），（2）（3）

【解析】

（1）在区间上为单调递减，解方程组即可得解；

（2）换元令，不等式化为，分离参数即可求解；

（3）换元，结合图象讨论的根的情况．

【解析】
（1）因为函数对称轴为，，

所以在区间上为单调递减

所以，，

解得：，

（2）

令，∴

不等式化为

即在上恒成立

因为，所以

所以

（3）函数有三个零点

则方程有三个不同根

设其图象如下图

由题意，关于m的方程：

即有两根，且这两根有三种情况：

一根为0，一根在内；或一根为1，一根在内：或一根大于1，一根在内

若一根为0，一根在内：

把代入中，得，

此时方程为，得，，不合愿意；

若一根为1，一根在内：

把代入中，得，

此时方程为，得，不合题意；

若一根大于1，一根在内：

设，由题意得

，∴

综上得：