Question

已知函数，

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设函数，证明：是函数有两个零点的充分条件.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据在上单调递增，得到，从而得到在上恒成立，利用基本不等式得到的最小值，从而得到的范围；（2）将问题等价于“函数有两个零点”，利用导数得到的单调性和最小值，再利用导数求出当时，其最小值恒小于，从而得到有两个零点，从而使命题得证.

（1）函数的定义域为

因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

因为

当且仅当，即时，等号成立，

所以最小值为

所以

所以.

（2）由题意知，

“函数有两个零点”等价于“方程两个根”，

由于，也等价于“函数有两个零点”

则

当时，令得，令得，

即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

因此，

令，

则

当时，

所以在上为减函数，且，

所以，即，

而，得，

又，，

故函数有两个零点

即是函数有两个零点的充分条件.