Question

已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有极值点，有两个零点，且恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)在上单调递增，在上单调递减；(2).

【解析】

（1）求导，讨论，得到函数的单调区间.

（2）计算，化简得到，令，取

根据函数的单调性得到取值范围.

(1)定义域为且，

①当时，，在上单调递增，

②当时，令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

(2)，为的两个零点，

，

恒成立，恒成立，

恒成立，

恒成立，

不妨设，恒成立，

恒成立，

令，在上恒成立，

因为，，

所以时，在上不成立.

令，

则，，

①当时，，

从而，所以在区间上单调递减，

所以当时，恒成立；

②当时，对于方程，

因为，

所以方程有两根且，，

不妨设，

则当时，，即，

所以在区间上单调递增，此时，

即在上不恒成立，

综上所述，的取值范围是.