Question

如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,

（1）求证：平面；

（2）若是正三角形，且.

(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面 ？

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？

Answer

（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点在线段中点时；(Ⅱ) 当时.

【解析】

（1）连接,,AC BD=，连接，由为中点，为中点，得，推出平面；（2）(Ⅰ) 当点在线段中点时，由线面垂直的判定定理得平面；(Ⅱ)当时由(Ⅰ)得平面，推出平面平面.

（1）证明：连接,,=，因为ABCD是平行四边形，则为中点，连接，

又为中点，面， 面 平面.

（2）解(Ⅰ)当点在线段中点时，有平面

取中点，连接，又

，又，，平面

，又是正三角形，

平面

(Ⅱ)当时，有平面平面

过作于，由(Ⅰ)知，

平面，所以平面平面

易得