Question

已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_________________。

Answer

【解析】

由已知设出，，，分别在中和在中运用余弦定理表示，得到关于x与y的关系式，再在中运用勾股定理得到关于x与y的又一关系式，联立可解得x，y，从而分析出正三棱锥是，，两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.

在中，设，，，,，

因为点，点分别是，的中点，所以，，

在中，，在中，，

整理得，

因为是边长为的正三角形，所以，

又因为，所以，由，解得，

所以。

又因为是边长为的正三角形，所以，所以，

所以，，两两垂直，

则球为以为棱的正方体的外接球，

则外接球直径为，

所以球的体积为,

故答案为：.