Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，且，平面，分别为棱的中点.

（1）证明：平面.

（2）若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）在平面PBC中，找到与直线EF平行的直线，由线线平行，推出线面平行；

（2）由等体积法，求得点A到平面PBC的距离.

（1）证明：取的中点，连接，作图如下：

因为为棱的中点，所以.

因为底面是菱形，所以，

所以.

因为为棱的中点，所以，

所以，

所以四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）连接.因为底面是边长为4的菱形，且，

所以，菱形的面积为.

因为平面，所以四棱锥的体积

，

所以，则，

故的面积为.

设点到平面的距离为，

则三棱锥的体积.

因为，

所以，所以.

故点到平面的距离为.