Question

设是圆上的一动点，点在直线上线段的垂直平分线交直线于点．

（1）若点的轨迹为椭圆，则求的取值范围；

（2）设时对应的椭圆为，为椭圆的右顶点，直线与交于、两点，若，求面积的最大值．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得点在的垂直平分线上，有，进而，根据点的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得，即在圆外，得出不等量关系，结合关系，即可求解；

（2）根据（1）求出椭圆方程，设出直线，以及，，根据直线与椭圆相交关系结合韦达定理，求出的值，转坐标关系，可得出直线过定点，得到，再利用韦达定理，求出关于的目标函数，结合的范围，利用换元法，转化为二次函数的最值，即可求解.

【解析】
（1）若的轨迹为椭圆，则必在圆内，

此时的垂直平分线交线段于点，

，

∴，

∵在直线上，∴，

∴，则．

（2）当时，为，此时，

∴的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中，，，

∴椭圆的方程为．

∵为右顶点，∴为，设，，

，∵，∴，

即，①

∵，在直线上，

∴①式变为，②

联立直线方程与椭圆方程，

得，

∴，，

代入②式得，∴或，

当时，、或、重合，

与、为非零向量矛盾，舍去．

∴，直线为，过定点，

此时

令，则，

∵，∴，

即时，有最大值，最大值为．