Question

已知在与时都取得极值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的单调区间和极值．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）f （x）的递增区间为和（1，＋∞），递减区间为．当x＝－时，f（x）有极大值f＝；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝－．

【解析】

（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在与时，都取得极值，则就可得到a，b的值；（2）先由求出函数中的c值，再求导数，令导数大于0，解得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值

试题解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设知x＝1，x＝－为f′（x）＝0的解．∴ －a＝1－，＝1×．∴ a＝－，b＝－2．经检验，这时x＝1与x＝－都是极值点．

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－＋2＋c＝，得c＝1．∴ f （x）＝x3－x2－2x＋1．

x

1

+

0

-

0

+

递增

极大值

递减

极小值

递增

∴ f （x）的递增区间为和（1，＋∞），递减区间为．当x＝－时，f（x）有极大值f＝；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝－．