Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；

（Ⅲ）设函数（为自然对数底数），若在上至少存在一点，使得成立，求实数p的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）当时，

函数

曲线在点处的切线的斜率为

1分

从而曲线在点处的切线方程为

即

（2）3分

令，要使在定义域（0，∞）内是增函

只需在（0，+∞）内恒成立 4分

由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

，

只需时，

在（0，+∞）内为增函数，正实数的取值范围是6分

（3）上是减函数，

时，

，

即1分

①当时，

其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，

且，所以内是减函数．

当时，在

因为，

所以

此时，内是减函数．

故当时，上单调递减

，不合题意；

②当时，由

所以

又由（2）知当时，上是增函数，

，不合题意； 11分

③当时，由（2）知上是增函数，

又上是减函数，

故只需

而

即

解得，

所以实数的取值范围是． 13分

注：另有其它解法，请酌情给分．