Question

已知函数对任意的，总有.且当时，恒有.

（1）判断函数的单调性并证明；

（2）解不等式：.

Answer

（1）函数在上单调递减，证明见解析；

（2）．

【解析】

（1）函数在上单调递减，设，且，，利用作差法即可证明；

（2）令得，不等式等价于，再根据单调性可得，结合三角函数的性质即可求出答案．

【解析】
（1）函数在上单调递减，证明如下：

设，且，

∵，

则，

当时，恒有，且，则，则，

∴，∴，

∴函数在上单调递减；

（2）令得，，得，

∵，∴，

∴，

又函数在上单调递减，

∴，即，

∴，

解得，

所以不等式的解集为．