Question

已知函数，.

（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；

（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）偶函数，证明见解析；（2）存在符合题意．

【解析】

（1）当时，函数为偶函数，结合对数的运算性质利用偶函数的定义证明即可；

（2）假设存在直线满足题意，则，代入后利用对数的运算性质化简得，从而可求得符合题意．

【解析】
（1）当时，，函数为偶函数，证明如下：

∴，

又函数的定义域为，

∴函数为偶函数；

（2）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称，

则，

∴，

即，即，

∴，即，

∴，

∴，即，

∵且，

∴，

故存在，使得函数的图像关于直线对称．