Question

已知函数,的最小正期为.

(1)求的单调增区间;

(2)方程在上有且只有一个解,求实数的取值范围;

(3)是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.

Answer

(1);(2)或;(3)存在,.

【解析】

（1）利用降幂公式和辅助角公式化简得，再利用周期公式求得的值，从而得到的解析式，再利用整体代入求单调区间；

（2）方程;在上有且有一个解,转化为函数与函数只有一个交点；

（3）由(1)可知,则；实数满足对任意,都存在,使得成立，即成立，再将问题转化为恒成立问题.

(1)函数

∵的最小正周期为.∴,∴.

那么的解析式

令得:

∴的单调增区间为.

(2)方程;在上有且有一个解,

转化为函数与函数只有一个交点.

∵,∴

因为函数在上增,在上减,

且，

∴或,所以或.

(3)由(1)可知,∴.

实数满足对任意,都存在,

使得成立.

即成立

令

设,那么

∵,∴,

可得在上恒成立.

令,其对称轴，

∵上,

∴①当时,即,,解得;

②当,即时,,解得;

③当,即时,,解得;

综上可得,存在,可知的取值范围是.