Question

已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.

Answer

（1），；（2）单调递减，见解析；（3）

【解析】

（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.

（2）化简得到，，计算，得到是减函数.

（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.

（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，

即，所以．又由，即，

所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.

（2）在上单调递减.证明：由（1）知，

任取，设，则，

因为函数在上是增函数，且，所以，又，

所以，即，

所以函数在R上单调递减.

（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，

因为在上是减函数，由上式推得，

即对一切有恒成立，设，

令，

则有，，所以，

所以，即的取值范围为.