Question

设函数

（I）求函数f（x）的单调区间；

（II）若，求证：时，.

Answer

（I）当时，f（x）的单调减区间为；当时，f（x）的单调减区间为，单调减区间为（II）见详解

【解析】

（I）采用分类讨论的方法，结合导数判断函数单调性，可得结果.

（II）构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，并求最小值，与0比较大小，可得结果.

【解析】
（I）

若时，则，

f（x）在上单调递减；

若时，令解得：

当时，

则，f（x）单调递减；

当时，

则，f（x）单调递增；

综上所述，

当时，f（x）的单调减区间为

当时，f（x）的单调减区间为，

单调减区间为

（II）当时，要证，

即证，

亦即证

令，则

由指数函数及幂函数的性质知：

在上是增函数

，，

在内存在唯一的零点，

也即在上有唯一零点

设的零点为，

则，即，

由的单调性知：

当时，

，h（x）为减函数，

当时，

，h（x）为增函数，

所以当，时，

，即.