Question

设，函数.

（1）若，求证：函数为奇函数；

（2）若，判断并证明函数的单调性；

（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围.

Answer

（1）见解析；（2）函数为上的单调递增，证明见解析；（3）当时，；当时，．

【解析】

（1）当时，函数，根据函数奇偶性得，进而得出结论．

（2）当时，函数的定义域为，通过单调性的定义法的五步①设元②作差③变形④定号⑤下结论．

（3）因为，，所以，分，两种情况讨论函数在区间上的取值范围是，进而得出结论．

【解析】
（1）当时，函数，

因为，所以，即定义域为

从而对任意的，，

所以为奇函数．

（2）当时，因为，所以，

所以函数的定义域为．

结论：函数为上的单调递增函数．

证明：设对任意的，，且，

则

，

因为，所以，即，

又因为，，，

所以，

于是，即函数为上的单调递增．

（3）因为，所以，从而，

由，知，所以，

因为，所以或．

当时，由（2）知，函数为上单调递增函数．

因为函数在区间上的取值范围是

所以，即，

从而关于的方程 有两个互异实数根．

令，则，所以方程，有两个互异实数根

，从而．

当时，函数在区间，上均单调递减．

若，则，于是，这与矛盾，故舍去．

若，则，于是，即，

所以，两式相减整理得，，

又，故，从而，因为，所以．

综上可得，当时，

当时，．